Question

如图所示，在锐角△ABC中，AB=BC，点O是边AB的中点，以点O为圆心，OA为半径的圆交于点M，过点M作⊙O的切线MN交BC于点N．求证：CM²=CN•CB．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连接BM、OM，根据等腰三角形的性质以及切线的性质证明∠MBC=∠CMN，证明△CMN∽△CBM，得到

CM

BC

=

CN

CM

，从而证得．

解答：证明：连接BM、OM．
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，即BM⊥AC．
又∵AB=BC，
∴∠ABM=∠MBC，
∵MN是圆的切线，
∴OM⊥MN，即∠OMN=90°，
∴∠OMB=∠CMN，
∵OB=OC，
∴∠OMB=∠ABM，
∴∠MBC=∠CMN，
又∵∠C=∠C，
∴△CMN∽△CBM，
∴

CM

BC

=

CN

CM

，
∴CM²=CN•CB．

点评：本题考查了切线的性质定理以及等腰三角形的性质定理，和相似三角形的判定与性质，证明等积式成立，常用的方法是转化为证明比例式，然后转化为证明三角形相似．