Question

【题目】如图，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，

∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴AE= AB，CF= CD，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中，

∵ ，

∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2））证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DF= DC，BE= AB，

又∵在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∴DF∥BE，DF=BE，

∴四边形DEBF为平行四边形，

∵DB⊥BC，

∴∠DBC=90°，

∴△DBC为直角三角形，

又∵F为边DC的中点，

∴BF= DC=DF，

又∵四边形DEBF为平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形．

【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．（2）利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，进而得出BF= DC=DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和菱形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．