Question

【题目】定义：三角形一边的中线与这边上的高线之比称为这边上的中高比．
（1）直接写出等腰直角三角形腰上的中高比为 ．
（2）已知一个直角三角形一边上的中高比为5：4，求它的最小内角的正切值．
（3）如图，已知函数y= （x+4）（x﹣m）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，对称轴与x的正半轴交于点D，若△ABC中AB边上的中高比为5：4，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：①当斜边上的中高比为5：4时，设高线为4k，则此边上的中线为5k，如图2，

在△ABC中，∠BAC=90°，

∴AD是高，

∴AD=4x，AE是中线，

∴CE=AE=5x，

在RtADE中，DE= =3k，

∴CD=CE+DE=8k，

∴tan∠C= = = ，

当直角边上的中高比为5：4时，设高为4k，此边上的中线为5k，

如图3，

在△ABC中，∠BAC=90°，AB是AC边上的高，为4k，BD为AC边上的中线，为5k，

根据勾股定理得，AD= =3k，

∴AC=2AD=6k，

∴tan∠C= = ，

∴直角三角形的最小内角的正切值为 或 ；

（3）

解：∵函数y= （x+4）（x﹣m）与x轴交于A、B两点，

∴令y=0，∴0= （x+4）（x﹣m），

∴x=﹣4或x=m，

∴A（﹣4，0），B（m，0），

∵点C是抛物线与y轴的交点，

∴C（0，﹣ ），

∵对称轴与x的正半轴交于点D，

∴D（ ，0），

在Rt△COD中，设CD=5k，

∴OC=4k，

根据勾股定理得，OD=3k，

∴ ，∴ ，

即m的值为10．

【解析】解：（1）如图1，

设等腰直角三角形的直角边为2x，
∴BC边上的高为AB=2x，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD= BC=x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD= = x，
∴等腰直角三角形腰上的中高比为 = ，
所以答案是： ；