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【题目】如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.
(1)证明:△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?请说明理由,并求出此时点C到OE的距离.

【答案】
(1)证明:如图所示,

∵OA⊥OB,

∴∠1+∠2=90°,

又∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=90°,

∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠3,

∵OA⊥OB,OE⊥OA,

∴∠BOA=∠DEA=90°,

∴△OAB∽△EDA.


(2)解:在Rt△OAB中,AB= =5,

由(1)可知∠1=∠3,∠BOA=∠DEA=90°,

∴当a=AD=AB=5时,△AOB与△EDA全等.

当a=AD=AB=5时,可知矩形ABCD为正方形,

∴BC=AB,如图,过点C作CH⊥OE交OE于点H,

则CH就是点C到OE的距离,过点B作BF⊥CH交CH于点F,

则∠4与∠5互余,∠1与∠5互余,

∴∠1=∠4,

又∵∠BFC=∠BOA,BC=AB,

∴△OAB≌△FCB(AAS),

∴CF=OA=4,BO=BF.

∴四边形OHFB为正方形,

∴HF=OB=3,

∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7.


【解析】(1)由于四边形ABCD是矩形,则∠BAD=90°,那么∠OBA、∠DAE同为∠BAO的余角,即∠OBA=∠DAE,而∠BOA、∠DEA都是直角,由此可证得△OAB∽△EDA.(2)若△OAB与△EDA全等,则AB=AD,在Rt△OAB中,利用勾股定理易求得AB=5,那么a=AD=AB=5; 求C到OE的距离,可过C作CH⊥OE于H,过B作BF⊥CH于F;那么CH就是所求的距离,通过上面的解题思路,易证得△CBF≌△ABO,得CH=OA=4,BO=BF,那么四边形BOHF是正方形,由此可得FH=BO=3,根据CH=CF+FH即可求得C到OE的距离.
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质和相似三角形的判定,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等;相似三角形的判定方法:两角对应相等,两三角形相似(ASA);直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS);三边对应成比例,两三角形相似(SSS)即可以解答此题.

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