【题目】如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3 ,MN=2 .
(1)求∠COB的度数;
(2)求⊙O的半径R;
(3)点F在⊙O上( 是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.
【答案】
(1)解:∵AE切⊙O于点E,
∴AE⊥CE,又OB⊥AT,
∴∠AEC=∠CBO=90°,
又∠BCO=∠ACE,
∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,
∴∠COB=∠A=30°
(2)解:∵AE=3 ,∠A=30°,
∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°= ,即EC=AEtan30°=3,
∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=2 ,
∴MB= MN= ,
连接OM,在△MOB中,OM=R,MB= ,
∴OB= ,
在△COB中,∠BOC=30°,
∵cos∠BOC=cos30°= ,
∴BO= OC,
∴OC= OB= ,
又OC+EC=OM=R,
∴R= +3,
整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,
解得:R=﹣23(舍去)或R=5,
则R=5
(3)解:以EF为斜边,有两种情况,以EF为直角边,有四种情况,所以六种,
画直径FG,连接EG,延长EO与圆交于点D,连接DF,如图所示:
∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°,
∴FD=5 ,
则C△EFD=5+10+5 =15+5 ,
由(2)可得C△COB=3+ ,
∴C△EFD:C△COB=(15+5 ):(3+ )=5:1.
∵EF=5,直径FG=10,可得出∠FGE=30°,
∴EG=5 ,
则C△EFG=5+10+5 =15+5 ,
∴C△EFG:C△COB=(15+5 ):(3+ )=5:1
【解析】(1)由AE与圆O相切,根据切线的性质得到AE与CE垂直,又OB与AT垂直,可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等,由∠A的度数即可求出所求角的度数;(2)在直角三角形AEC中,由AE及tanA的值,利用锐角三角函数定义求出CE的长,再由OB垂直于MN,由垂径定理得到B为MN的中点,根据MN的长求出MB的长,在直角三角形OBM中,由半径OM=R,及MB的长,利用勾股定理表示出OB的长,在直角三角形OBC中,由表示出OB及cos30°的值,利用锐角三角函数定义表示出OC,用OE﹣OC=EC列出关于R的方程,求出方程的解得到半径R的值;(3)把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合,在EF的同一侧,这样的三角形共有3个.延长EO与圆交于点D,连接DF,如图所示,由第二问求出半径,的长直径ED的长,根据ED为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三角形EFD为直角三角形,由∠FDE为30°,利用锐角三角函数定义求出DF的长,表示出三角形EFD的周长,再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长,即可求出两三角形的周长之比.
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【题目】如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=a,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.
(1)证明:△OAB∽△EDA;
(2)当a为何值时,△OAB与△EDA全等?请说明理由,并求出此时点C到OE的距离.
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【题目】如图,扇形AOB中,OA=10,∠AOB=36°.若将此扇形绕点B顺时针旋转,得一新扇形A′O′B,其中A点在O′B上,则点O的运动路径长为cm.(结果保留π)
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【题目】制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息解答以下问题:
(1)该校七年级(1)班有多少名学生.
(2)求出扇形统计图中“O型”血所对扇形的圆心角的度数.
(3)将条形统计图中“B型”血部分的条形图补充完整.
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【题目】如图的抛物线是把抛物线y= x2平移后经过(0,﹣1)和(4,﹣1)两点得到的.
(1)求平移后抛物线的表达式.
(2)求平移后方向和距离.
(3)在平移后的抛物线上取一点P,以P为圆心作半径为2的⊙P,当⊙P与y轴相切时,求点P的坐标.
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【题目】如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D为AB边上一点.
(1)求证:AD2+DB2=ED2;
(2)若BC=,求四边形ADCE的面积.
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【题目】(感知)如图①,AB∥CD,点E在直线AB与CD之间,连结AE、BE,试说明∠BEE+∠DCE=∠AEC.下面给出了这道题的解题过程,请完成下面的解题过程,并填空(理由或数学式):
解:如图①,过点E作EF∥AB
∴∠BAE=∠1( )
∵AB∥CD( )
∴CD∥EF( )
∴∠2=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2( )
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC
(探究)当点E在如图②的位置时,其他条件不变,试说明∠AEC+∠FGC+∠DCE=360°;
(应用)点E、F、G在直线AB与CD之间,连结AE、EF、FG和CG,其他条件不变,如图③.若∠EFG=36°,则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG= °.
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【题目】我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.今年文学书和科普书的单价与去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?
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