Question

【题目】如图，在ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四边形AECF为菱形时，

∴AE=EC．

又∵点E是边BC的中点，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB= BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，

ABCD的BC边上的高为2×sin60°= ，

∴菱形AECF的面积为2 ．

【解析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．（1）用SAS证全等；（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．