Question

【题目】△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．
（1）如图1，求证：DECD=DFBE
（2）D为BC中点如图2，连接EF．
①求证：ED平分∠BEF；
②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，

∴∠FDC=∠DEB，

∴△BDE∽△CFD，

∴ ，

即DECD=DFBE

（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，

∴ ，

∵D为BC中点，

∴BD=CD，

∴ = ，

∵∠B=∠EDF，

∴△BDE～△DFE，

∴∠BED=∠DEF，

∴ED平分∠BEF；

②∵四边形AEDF为菱形，

∴∠AEF=∠DEF，

∵∠BED=∠DEF，

∴∠AEF=60°，

∵AE=AF，

∴∠BAC=60°，

∵∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴△BED是等边三角形，

∴BE=DE，

∵AE=DE，

∴AE= AB，

∴ =

【解析】（1）先根据题意得出△BDE∽△CFD，再由相似三角形的性质即可得出结论；（2）①根据相似三角形的性质得到 ，推出△BDE∽△DEF，根据相似三角形的性质即可得到结论；②由四边形AEDF为菱形，得到∠AEF=∠DEF，于是得到∠AEF=60°，推出△ABC是等边三角形，△BED是等边三角形，得到BE=DE，即可得到结论．