Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴交于点A、B，OA=3，OB=

3

，将△AOB沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=

k

x

（k＞0）上．
（1）求k的值；
（2）如果将△ABC绕AC的中点旋转180°得到△PCA．
①请直接写出点P的坐标；
②判断点P是否在双曲线y=

k

x

上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点C作CD⊥OA，垂足为点D，利用三角函数即可求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据旋转的性质，即可求得P的坐标，然后代入解析数即可判断是否在函数的图象上．

解答：解：（1）过点C作CD⊥OA，垂足为点D．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴AB=

AO2+BO2

=

32+( 3 )2

=2

3

…（1分）
∴AB=2BO，∴∠BAO=30°，
∵△ABC由△AOB沿直线AB翻折所得，
∴∠CAB=∠BAO=30°，CA=AO=3．
∵CD⊥OA，垂足为点D，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-30°-30°=30°…（1分）
∴AD=

1

2

AC=

3

2

，
∴CD=

AC2-AD2

=

32-( 3 2 )2

=

3

2

3

，OD=AO-AD=

3

2

，
∴C(

3

2

，

3

2

3

)．…（1分）
∵点C(

3

2

，

3

2

3

)在双曲线y=

k

x

(k＞0)上，
∴

3

2

3

=

k

3 2

，
∴k=

9

4

3

．…（1分）

（2）①P(

9

2

，

3

2

)．…（1分）
②∵

9

2

×

3

2

=

9

4

3

=k．…（1分）
∴点P在双曲线y=

k

x

上．…（1分）

点评：本题考查了反比例函数的性质以及待定系数法求函数的解析式，正确求得C的坐标是关键．