Question

如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2）：将∠AOB绕点A逆时针旋转90⁰得到△ACD，点O的对应点C恰好落在双曲线y₁=（x＞O）上．直线AC交双曲线于点E．
（1）求双曲线y₁=（x＞O）与直线AC的解析式y₂=kx+b；
（2）结合图象指出，当x取何值时，y₁＞y₂，y₁＜y₂？

Answer 1

解：∵点A的坐标为（1，2），Rt△AOB绕点A逆时针旋转90°，
∴OB+AD=3，AB-CD=1，故C（3，1），
将C（3，1）代入y=中，得m=3×1=3，
∴y_1=，
把A点和C点的坐标代入y₂=kx+b得：，
解得：，
∴y=-x+；

（2）∵，
∴或，
∴E的坐标为（2，），
∴当0＜x＜2或x＞3时y₁＞y₂，
当2＜x＜3时，y₁＜y₂．
分析：（1）由A（1，2）可知B0=1，AB=2，由旋转的性质可知AD=AB=2，CD=BO=1，△OAB旋转90°，可知AD∥x轴，CD⊥x轴，根据线段的长度求C点坐标，再求m的值，把A点和C点的坐标代入y₂=kx+b即可求出k和b的值；
（2）联立两个函数的解析式组成方程组，求出E的坐标，观察函数的图象可知当x取何值时，y₁＞y₂，y₁＜y₂．
点评：本题考查了反比例函数和一次函数关系式的求法，旋转的性质．关键是通过旋转确定双曲线上点的坐标．