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【题目】如图①,已知AB是⊙O的直径,点D是线段AB延长线上的一个动点,直线DF垂直于射线AB于点D,当直线DF绕点D逆时针旋转时,与⊙O交于点C,且运动过程中,保持CDOA

1)当直线DF与⊙O相切于点C时,求旋转角的度数;

2)当直线DF与半圆O相交于点C时(如图②),设另一交点为E,连接AEOC,若AEOC

AEOD的大小有什么关系?说明理由.

②求此时旋转角的度数.

【答案】(1)45°;(2)①结论:AEOD.②∠CDF=54°

【解析】

(1)连接OC,因为CD是⊙O的切线,得出∠OCD=90°,由OC=CD,得出∠ODC=COD=45°即可解决问题;

(2)连接OE,①证明AOE≌△OCD,即可得AE=OD;

②利用等腰三角形及平行线的性质,根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数,即可解决问题;

(1)如图①,连接OC

OCOACDOA

OCCD

∴∠ODCCOD

CD是⊙O的切线,

∴∠OCD=90°,

∴∠ODC=45°;

∴旋转角∠CDF=90°﹣45°=45°.

(2)如图②,连OE

CDOA

CDOCOEOA

∴∠1=2,3=4.

AEOC

∴∠2=3.

设∠ODC1=x,则∠2=3=4=x

∴∠AOEOCD=180°﹣2x

①结论:AEOD.理由如下:

AOEOCD中,

∴△AOE≌△OCDSAS),

AEOD

②∵∠6=1+2=2xOEOC

∴∠5=6=2x

AEOC

∴∠4+5+6=180°,即:x+2x+2x=180°,

x=36°.

∴∠ODC=36°,

∴旋转角∠CDF=54°.

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A. B.

C. D.

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(1)用含x的代数式表示线段CF的长;

(2)如果把CAE的周长记作CCAEBAF的周长记作CBAF,设=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;

(3)当∠ABE的正切值是时,求AB的长.

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x

-2

-1

0

1

2

y

0

-4

-4

0

8

1)根据上表填空:

①抛物线与x轴的交点坐标是__________________

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