【题目】如图①,已知AB是⊙O的直径,点D是线段AB延长线上的一个动点,直线DF垂直于射线AB于点D,当直线DF绕点D逆时针旋转时,与⊙O交于点C,且运动过程中,保持CD=OA
(1)当直线DF与⊙O相切于点C时,求旋转角的度数;
(2)当直线DF与半圆O相交于点C时(如图②),设另一交点为E,连接AE,OC,若AE∥OC.
①AE与OD的大小有什么关系?说明理由.
②求此时旋转角的度数.
【答案】(1)45°;(2)①结论:AE=OD.②∠CDF=54°
【解析】
(1)连接OC,因为CD是⊙O的切线,得出∠OCD=90°,由OC=CD,得出∠ODC=∠COD=45°即可解决问题;
(2)连接OE,①证明△AOE≌△OCD,即可得AE=OD;
②利用等腰三角形及平行线的性质,根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数,即可解决问题;
(1)如图①,连接OC.
∵OC=OA,CD=OA,
∴OC=CD,
∴∠ODC=∠COD,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∴∠ODC=45°;
∴旋转角∠CDF=90°﹣45°=45°.
(2)如图②,连接OE.
∵CD=OA,
∴CD=OC=OE=OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AE∥OC,
∴∠2=∠3.
设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.
∴∠AOE=∠OCD=180°﹣2x.
①结论:AE=OD.理由如下:
在△AOE与△OCD中,
,
∴△AOE≌△OCD(SAS),
∴AE=OD.
②∵∠6=∠1+∠2=2x.OE=OC,
∴∠5=∠6=2x.
∵AE∥OC,
∴∠4+∠5+∠6=180°,即:x+2x+2x=180°,
∴x=36°.
∴∠ODC=36°,
∴旋转角∠CDF=54°.
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【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,点E在边AD上(不与点A、D重合),∠CEB=45°,EB与对角线AC相交于点F,设DE=x.
(1)用含x的代数式表示线段CF的长;
(2)如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF,设=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当∠ABE的正切值是时,求AB的长.
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【题目】交通安全是社会关注的热点问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学九年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图,先在笔直的公路1旁选取一点P,在公路1上确定点O、B,使得,米,.这时,一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来,测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒,并测得此路段限速每小时80千米,试判断此车是否超速?请说明理由参考数据:,.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y,的对应值如下表:
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 0 | -4 | -4 | 0 | 8 | … |
(1)根据上表填空:
①抛物线与x轴的交点坐标是_________和_________;
②抛物线经过点(-3,_________);
(2)试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【题目】一次函数y=x的图像如图所示,它与二次函数y=ax2+2ax+c的图像交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图像的对称轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)设二次函数图像的顶点为D.若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于,求此二次函数的关系式.
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【题目】图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】某商店以每件25元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(400﹣10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过进价的30%,商店计划要盈利500元,每件商品应定价多少元?需要进货多少件?
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