【题目】一次函数y=x的图像如图所示,它与二次函数y=ax2+2ax+c的图像交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图像的对称轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)设二次函数图像的顶点为D.若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于,求此二次函数的关系式.
【答案】(1)点C的坐标为(-1,);(2)
【解析】
(1)先求出对称轴为x=2,然后求出与一次函数y=-x的交点,即点C的坐标
(2)①先求出点D的坐标,然后根据面积为,得出点A的坐标,最后根据待定系数法求出a的值,即可求出解析式.
(1)∵抛物线的对称轴为x==-1.
∵将x=-1代入y=x得:y=,∴点C的坐标为(-1,).
(2)①∵点D与点C关于x轴对称,∴点D的坐标为(-1,-),∴CD=.
设△ACD的CD边上的高为h,则 h=,解得h=4
∴点A的横坐标为-4-1=-5或-1+4=3,则点A的纵坐标为或-×3=-4.
即A(-5,)或(3,-4)
设抛物线的解析式为,将A(-5,)代入得:=.
解得:,或将A(3,-4)带入得:-4=a(3+1)2-,解得a=-
∴抛物线的解析式为或.
直线与抛物线相切于点A,仍不合题意,应舍去.
故二次函数的关系式为.
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【题目】小明同学三次到某超市购买A、B两种商品,其中仅有一次是有折扣的,购买数量及消费金额如下表:
类别 次数 | 购买A商品数量(件) | 购买B商品数量(件) | 消费金额(元) |
第一次 | 4 | 5 | 320 |
第二次 | 2 | 6 | 300 |
第三次 | 5 | 7 | 258 |
解答下列问题:
(1)第 次购买有折扣;
(2)求A、B两种商品的原价;
(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同,求折扣数;
(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件,在(3)中折扣数的前提下,消费金额不超过200元,求至少购买A商品多少件.
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【题目】如图, 是⊙O的直径,点是的中点,连接并延长至点,使,点是上一点,且, 的延长线交的延长线于点, 交⊙O于点,连接.
(1)求证: 是⊙O的切线;
(2)当时,求的长.
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【题目】如图①,已知AB是⊙O的直径,点D是线段AB延长线上的一个动点,直线DF垂直于射线AB于点D,当直线DF绕点D逆时针旋转时,与⊙O交于点C,且运动过程中,保持CD=OA
(1)当直线DF与⊙O相切于点C时,求旋转角的度数;
(2)当直线DF与半圆O相交于点C时(如图②),设另一交点为E,连接AE,OC,若AE∥OC.
①AE与OD的大小有什么关系?说明理由.
②求此时旋转角的度数.
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【题目】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么大树CD的高度为_____.
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【题目】如图,BD为⊙O的直径,点A是劣弧BC的中点,AD交BC于点E,连结AB.
(1)求证:AB2=AE·AD;
(2)若AE=2,ED=4,求图中阴影的面积.
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【题目】如图,直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点(3,0),…,直线ln⊥x轴于点(n,0)(其中n为正整数).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,…,ln分别交于点A1,A2,A3,…,An;函数y=2x的图象与直线l1,l2,l3,…,ln分别交于点B1,B2,B3,…,Bn.如果△OA1B1的面积记作S,四边形A1A2B2B1的面积记作S1,四边形A2A3B3B2的面积记作S2,…,四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积记作Sn,那么S2018=_____.
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【题目】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现代语言表述为:如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,AE = 1寸,CD = 10寸,求直径AB的长.请你解答这个问题.
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【题目】某大学生利用业余时间参与了一家网店经营,销售一种成本为30元/件的文化衫,根据以往的销售经验,他整理出这种文化衫的售价y1(元/件),销量y2(件)与第x(1≤x<90)天的函数图象如图所示(销售利润=(售价-成本)×销量).
(1)求y1与y2的函数解析式.
(2)求每天的销售利润W与x的函数解析式.
(3)销售这种文化衫的第多少天,销售利润最大,最大利润是多少?
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