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【题目】如图,BD为⊙O的直径,点A是劣弧BC的中点,ADBC于点E,连结AB.

(1)求证:AB2=AE·AD;

(2)AE=2ED=4,求图中阴影的面积.

【答案】(1)见解析;(2) 2π-3.

【解析】

1)点A是劣弧BC的中点,即可得∠ABC=ADB,又由∠BAD=EAB,即可证得△ABE∽△ADB,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得AB2=AEAD.

(2) 连结OA,由S阴影=S扇形AOB-SAOB求出即可.

(1)证明:∵点A是劣弧BC的中点,

=

∴∠ABC=ADB

又∵∠BAD=EAB,∴△ABE∽△ADB

AB2=AEAD.

(2)解:连结OA

AE=2ED=4

(1)可知

AB2=AEAD,

AB2=AEAD=AE(AE+ED)=2×6=12.

AB=(舍负)

BD为⊙O的直径,

∴∠BAD=90°.

RtABD中,BD=

OB=

OA=OB=AB=

∴△AOB为等边三角形

∴∠AOB=60°.

S阴影=S扇形AOB-SAOB=

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