Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AE=3，DE=4，求⊙O的半径的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)⊙O的半径长为.

【解析】

（1）连接OC，证OC∥AE，即可得出OC⊥DE，根据切线判定推出即可．

（2）证△OCD∽△ADE，即可求出DF．

(1)连接，

∵点C为弧BF的中点，

∴弧BC=弧CF．∴．

∵，

∴．

∴．

∵AE⊥DE，

∴．

∴．

∴OC⊥DE．

∴DE是⊙O的切线．

(2)由勾股定理得AD=5,

∵ ，

∠D=∠D，

∴△OCD∽△AED，

∴，

即，

解得r=，

∴⊙O的半径长为.