Question

【题目】如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，点P为CD上一动点，当BP+CP最小时，DP= ．

Answer 1

【答案】5．

【解析】

试题分析：如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．

∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，

∴PE=PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4，

∴PB+PC=PB+PE，

∴当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，

∵tan∠ACB==，设BE′=5，CE′=3k，

∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，

∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，

∴（12﹣6k）2+48=9k2+75k2，

整理得k2+3k﹣4=0，

∴k=1或﹣4（舍弃），

∴BE′=5，

∴PB+PC的最小值为5．