Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A（0，3），B（2，3），C（2，－3），D（0，－3）．点P，Q是长方形ABCD边上的两个动点，BC交x轴于点M．点P从点O出发以每秒1个单位长度沿O→A→B→M的路线做匀速运动，同时点Q也从点O出发以每秒2个单位长度沿O→D→C→M的路线做匀速运动．当点Q运动到点M时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒，四边形OPMQ的面积为S．

（1）当t＝2时，求S的值；

（2）若S＜5时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)S＝5；(2)1.5＜t＜2或3＜t＜4

【解析】试题分析：设的面积为 的面积为则
当t=2时,点P(0,2),Q(1,3)，过点Q作QE⊥x轴于点.根据三角形的面积公式分别求出 进而得出的值；

设点运动的路程为则点运动的路程为分五种情况进行讨论：①；②③④⑤ 针对每一种情况，首先确定出对应范围内点 的位置，再根据三角形的面积公式求解即可．

试题解析：设的面积为 的面积为 则

(1)当t=2时,点P(0,2),Q(1,3)，过点Q作QE⊥x轴于点.

(2)设点P运动的路程为t，则点Q运动的路程为2t.

①当时，点P在线段OA上，点Q在线段OD上，

此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去.

②当时，点P在线段OA上，点Q在线段DC上,

∵S<5，

∴t+3<5，解得t<2.

此时1.5<t<2.

③当时，点P在线段OA上，点Q在线段CM上,

∵S<5，

∴8t<5，解得t>3.

④当3<t<4时，点P在线段AB上，点Q在线段CM上,

∵S<5，

∴112t<5，解得t>3.

此时3<t<4.

⑤当t=4时，点P是线段AB的中点，点Q与M重合，两动点均停止运动,

此时四边形OPMQ不存在，不合题意，舍去.

综上所述，当S<5时，1.5<t<2或3<t<4.