Question

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°,BC=6.动点P从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度运动,同时动点Q从点C出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度运动,当点P到达点B时,P、Q同时停止运动,连结PQ、QA.设点P运动的时间为t秒.

（1）当CQ=2BP时,求t的值；

（2）当t为何值时QP=QA；

（3）若线段PQ的中垂线与线段BC相交（包括线段的端点）,则t的取值范围是 .（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4.5；（3）1.5≤t≤3

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质求出AB，根据题意列出方程，解方程即可；

（2）根据相似三角形的性质求出PE、BE，根据勾股定理列方程，解方程求出t；

（3）根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列式计算．

试题解析：解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=12，AC= ，由题意得，CQ=2t，BP=12﹣2t，则2t=2（12﹣2t），得t=4；

（2）作PE⊥BQ于E，则PE∥AC，∴△BPE∽△BAC，∴ ，解得，PE= ，BE=6﹣t，则EQ=EC+CQ=3t，∴PQ2=3（6﹣t）2+9t2，∵∠ACQ=90°，∴AQ2=AC2+CQ2=108+4t2，由题意得，108+4t2=3（6﹣t）2+9t2，解得，t=4.5；

（3）当BP=BQ时，12﹣2t=6+2t，解得，t=1.5，当CP=CQ时，3（6﹣t）2+t2=（2t）2，解得，t=3，则当1.5≤t≤3时，线段PQ的中垂线与线段BC相交，故答案为：1.5≤t≤3．