Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG ， 如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG ， 求∠ACB的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，

∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．

又∵CP=CP，

∴△ACP≌△BCP．

∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．

（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（ASA）．

∴AE=BF．

（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，

∴S△ABC=S△ABG．

∴AE=AC．

①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；

②当∠ACB为锐角时，∠CAH=90°﹣ ∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，

此时，∠CAE=180°﹣2∠ACB，

只须180°﹣2∠ACB＜90°﹣ ∠ACB，

解得：60°＜∠ACB＜90°．

【解析】（1）证得△ACP≌△BCP即可；（2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF即可；（3）假设存在点P，能使得S△ABC=S△ABG ， 由（2）得到的AE=BF，则新三角形ABG也为等腰三角形，根据底边都为AB，面积相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE为等腰三角形，则底角∠ACB为锐角，即可得到∠ACB的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能得出正确答案．