【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于点A(8,0)、B(2,0)两点,与y轴交于点C.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PB并延长交y轴于点D,若点P的横坐标为t,CD长为d,求d与t的函数关系式(并求出自变量t的取值范围);
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AC,过点P作PH⊥x轴,垂足为点H,延长PH交AC于点E,连接DE,射线DP关于DE对称的射线DG交AC于点G,延长DG交抛物线于点F,当点G为AC中点时,求点F的坐标.
【答案】见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法直接求出抛物线解析式;
(2)先表示出BH,PH,进而得出∠HBP的正切值,再用等角的同名三角函数即可表示出OD,即可得出结论;
(3)先求出直线AC解析式,进而判断出四边形DOMN是矩形,最后用三角函数和对称性求出t,即可得出OD和tan∠GDN=,即可得出结论.
试题解析:证明:(1)∵抛物线y=x2-bx+c过A(8,0)、B(2,0)两点,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣
x+4
(2)如图2,
过点P作PH⊥AB于点H,
设点P(t,t2-
t+4)
∴BH=t﹣2,PH=-t2-
t+4
∴tan∠HBP==
,
∵∠OBD=∠HBP,
∴tan∠OBD=tan∠HBP,
∴-=
,
∴OD=-t+4,
∴CD=4﹣OD=
∴d=t(2<t<8),
(3)如图3,
设直线 AC的解析式为y=kx+b,
∴
∴,
∴直线AC的解析式为y=-x+4,
∴点E(t,-t+4)
∴EH=OD=-t+4,
∵EH∥OD,
∴四边形DOHE是矩形,
∴DE∥OH,
取AO的中点M,
连接GM,交DE于点N,
∴GM∥OC,
∴GN⊥DE,
∴四边形DOMN是矩形,
∴OD=NM=-t+4,NG=2﹣MN=
t-2,
∵DN=OM=4
tan∠GDN==
t-
,
∵由对称性得∠PDE=∠GDE=∠HBP
tan∠GDN=tan∠HBP,
∴t-
=-
(t-8),
∴t=
∴OD=,
∴tan∠GDN=,
设点F(m,m0-
m+4
过点F作FK⊥DE交延长线于点K,
tan∠GDN==
=
,
∴m1=10,m2=(舍),
∴F(10,4),
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线:
与
:
为“友好抛物线”.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点A是抛物线上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在
的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线
上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读理解:若A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是点是【A,B】的好点.
(1)如图1,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点; 又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D【A,B】的好点,但点D【B,A】的好点.(请在横线上填是或不是)知识运用:
(2)如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为4,点N所表示的数为﹣2.数所表示的点是【M,N】的好点;
(3)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以4个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当经过秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
(1)证明:∠CAE=∠CBF;
(2)证明:AE=BF;
(3)以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG , 如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG , 求∠ACB的取值范围.
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