Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于点A（8，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PB并延长交y轴于点D，若点P的横坐标为t，CD长为d，求d与t的函数关系式（并求出自变量t的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，延长PH交AC于点E，连接DE，射线DP关于DE对称的射线DG交AC于点G，延长DG交抛物线于点F，当点G为AC中点时，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式；

（2）先表示出BH，PH，进而得出∠HBP的正切值，再用等角的同名三角函数即可表示出OD，即可得出结论；

（3）先求出直线AC解析式，进而判断出四边形DOMN是矩形，最后用三角函数和对称性求出t，即可得出OD和tan∠GDN=，即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵抛物线y=x2-bx+c过A（8，0）、B（2，0）两点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x+4

（2）如图2，

过点P作PH⊥AB于点H，

设点P（t，t2-t+4）

∴BH=t﹣2，PH=-t2-t+4

∴tan∠HBP==，

∵∠OBD=∠HBP，

∴tan∠OBD=tan∠HBP，

∴-=，

∴OD=-t+4，

∴CD=4﹣OD=

∴d=t（2＜t＜8），

（3）如图3，

设直线 AC的解析式为y=kx+b，

∴

∴，

∴直线AC的解析式为y=-x+4，

∴点E（t，-t+4）

∴EH=OD=-t+4，

∵EH∥OD，

∴四边形DOHE是矩形，

∴DE∥OH，

取AO的中点M，

连接GM，交DE于点N，

∴GM∥OC，

∴GN⊥DE，

∴四边形DOMN是矩形，

∴OD=NM=-t+4，NG=2﹣MN=t-2，

∵DN=OM=4

tan∠GDN==t-，

∵由对称性得∠PDE=∠GDE=∠HBP

tan∠GDN=tan∠HBP，

∴t-=-(t-8)，

∴t=

∴OD=，

∴tan∠GDN=，

设点F（m，m0-m+4

过点F作FK⊥DE交延长线于点K，

tan∠GDN===，

∴m1=10,m2=（舍），

∴F（10，4），