[题目]如图.在平面直角坐标系中.已知点A 的坐标是(4,0).并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B.C三点的抛物线上.(1) 求抛物线的解析式;(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D.过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时.求出点P的坐标;(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在.求出所有符� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.

(1) 求抛物线的解析式;

(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;

(3) 是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标; 若不存在，说明理由

【答案】(1) y=-x2+3x+4;(2)P（，2）或（，2）;(3)存在，P的坐标是（2，6）或（-2，-6），理由见解析

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得点ABC三点的坐标，设抛物线的解析式为，将三点坐标代入所设解析式列出方程组，解方程组即可；

（2）如图1，连接OD，易证四边形OFDE是矩形，由此可得EF=OD，所以当OD最短时，EF最短，即当OD⊥AC时，EF最短，结合OA=OC可知此时点D是AC中点，从而可得点D的纵坐标，结合DF∥OC可得点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得点P的横坐标，从而可得点P的坐标；

（3）如图2，根据题意分别过点A、C作AC的垂线与抛物线相交于点P，再分别过所得点P向y轴作垂线交y轴于一点，结合已知条件即可求出对应的点P的坐标了.

试题解析：

（1）∵点A的坐标为：（4，0），

∴OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（-1，0）

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则，解得：，

∴抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；

（2）如图1，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，

则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

∵OA=OC，点OD⊥AC，

∴D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴点P的纵坐标是2．则-x2+3x+4=2，解得：x=，

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．

（3）存在，如图2，

第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，

设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4，解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴-m2+3m+4=6，

即P（2，6）；

第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．

∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°，

∴∠OAP=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，-n2+3n+4），则n=（-n2+3n+4）+4，解得：n1=-2，n2=4（舍去），

∴-n2+3n+4=-6，则P2的坐标是（-2，-6）．

综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

【题目】如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响．

(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(参考数据：≈1.7)

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

【题目】如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，…都在直线上，则的坐标是（）

A. （2017，2017） B. (2017,2017)

C. (2017,2018) D. (2017,2019)

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

【题目】如图，中，AB=AC,D、E分别在边AB、AC上，且满足AD=AE.下列结论中:①；②AO平分∠BAC；③OB=OC；④AO⊥BC；⑤若，则；其中正确的有（）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

【题目】如图1，已知∠ABC= ,D是直线AB上的一点，AD=BC，连结DC.以DC为边，在∠CDB的同侧作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，连结AE.

(1)求证:;并判断AE和BC的位置关系，说明理由；

(2)若将题目中的条件“∠ABC=900”改成“∠ABC=x0(0<x<180)”,

①结论“”还成立吗?请说明理由；②试探索:当的值为多少时，直线AE⊥BC.

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

【题目】探索：在图1至图2中，已知的面积为a

(1)如图1，延长的边BC到点D，使CD=BC，连接DA;延长边CA到点E，使CA=AE，连接DE;若的面积为，则= (用含a的代数式表示)；

(2)在图1的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到(如图2).若阴影部分的面积为，则= (用a含的代数式表示)；

(3)发现:像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到(如图2)，此时，我们称向外扩展了一次.可以发现，扩展n次后得到的三角形的面积是面积的倍(用含n的代数式表示);

(4)应用:某市准备在市民广场一块足够大的空地上栽种牡丹花卉，工程人员进行了如下的图案设计:首先在的空地上种紫色牡丹，然后将向外扩展二次(如图3).在第一次扩展区域内种黄色牡丹，第二次扩展区域内种紫色牡丹，紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米，黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元，工程人员在设计时，三角形的面积至多为多少平方米?