Question

5．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=3x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数的对称性得出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可；
（3）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．

解答 解：（1）把x=2代入y=3x中，得y=2×3=6，
∴点A坐标为（2，6），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=2×6=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（-2，-6），
∴B到OC的距离为6，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×2×6=12，
（3）∵S_△ABC=12，
∴S_△OPC=12，
设P点坐标为（x，$\frac{12}{x}$），则P到OC的距离为|$\frac{12}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{12}{x}$|×2=12，解得x=1或-1，
∴P点坐标为（1，12）或（-1，-12）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．