【题目】如图1所示,已知y= (x>0)图象上一点P,PA⊥x轴于点A(a,0),点B坐标为(0,b)(b>0),动点M是y轴正半轴上B点上方的点,动点N在射线AP上,过点B作AB的垂线,交射线AP于点D,交直线MN于点Q连接AQ,取AQ的中点为C.
(1)如图2,连接BP,求△PAB的面积;
(2)当点Q在线段BD上时,若四边形BQNC是菱形,面积为2 ,求此时P点的坐标;
(3)当点Q在射线BD上时,且a=3,b=1,若以点B,C,N,Q为顶点的四边形是平行四边形,求这个平行四边形的周长.
【答案】
(1)
解:如图2,连接OP.
S△PAB=S△PAO= xy= ×6=3
(2)
解:如图3,
∵四边形BQNC是菱形,
∴BQ=BC=NQ,∠BQC=∠NQC,
∵AB⊥BQ,C是AQ的中点,
∴BC=CQ= AQ,
∴∠BQC=60°,∠BAQ=30°,
在△ABQ和△ANQ中,
,
∴△ABQ≌△ANQ(SAS),
∴∠BAQ=∠NAQ=30°,
∴∠BAO=30°,
∵S菱形BQNC=2 = ×CQ×BN,
令CQ=2t=BQ,则BN=2×(2t× )=2 t,
∴t=1
∴BQ=2,
∵在Rt△AQB中,∠BAQ=30°,
∴AB= BQ=2 ,
∵∠BAO=30°
∴OA= AB=3,
又∵P点在反比例函数y= 的图象上,
∴P点坐标为(3,2)
(3)
解:∵OB=1,OA=3,
∴AB= ,
易得△AOB∽△DBA,
∴ ,
∴BD=3 ,
①如图3,当点Q在线段BD上,
∵AB⊥BD,C为AQ的中点,
∴BC= AQ,
∵四边形BQNC是平行四边形,
∴QN=BC,CN=BQ,CN∥BD,
∴ = ,
∴BQ=CN= BD= ,
∴AQ= =2 ,
∴C四边形BQNC=2 +2 ;
②如图4,当点Q在射线BD的延长线上,
∵AB⊥BD,C为AQ的中点,
∴BC=CQ= AQ,
∴平行四边形BNQC是菱形,BN=CQ,BN∥CQ,
∴△BND∽△QAD
∴ = ,
∴BQ=3BD=9 ,
∴AQ= = =2 ,
∴C四边形BNQC=2AQ=4 .
【解析】(1)根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积;(2)首先求出∠BQC=60°,∠BAQ=30°,然后证明△ABQ≌△ANQ,进而求出∠BAO=30°,由S四边形BQNC=2 ,求出OA=3,于是P点坐标求出;(3)分两类进行讨论,当点Q在线段BD上,根据题干条件求出AQ的长,进而求出四边形的周长,当点Q在线段BD的延长线上,依然根据题干条件求出AQ的长,再进一步求出四边形的周长.
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识点,需要掌握反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴:直线y=x和 y=-x.对称中心是:原点;性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小; 当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题.
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【题目】LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点,在日常生活中,人们更倾向于LED灯的使用,某校数学兴趣小组为了解LED灯泡与普通白炽灯泡的销售情况,进行了市场调查:某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售,其进价与标价如下表:
LED灯泡 | 普通白炽灯泡 | |
进价(元) | 45 | 25 |
标价(元) | 60 | 30 |
(1)该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个,LED灯泡按标价进行销售,而普通白炽灯泡打九折销售,当销售完这批灯泡后可以获利3200元,求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个?
(2)由于春节期间热销,很快将两种灯泡销售完,若该商场计划再次购进两种灯泡120个,在不打折的情况下,请问如何进货,销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%,并求出此时这批灯泡的总利润为多少元?
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【题目】在直角坐标系中,设x轴为直线l,函数y=﹣ x,y= x的图象分别是直线l1 , l2 , 圆P(以点P为圆心,1为半径)与直线l,l1 , l2中的两条相切.例如( ,1)是其中一个圆P的圆心坐标.
(1)写出其余满足条件的圆P的圆心坐标;
(2)在图中标出所有圆心,并用线段依次连接各圆心,求所得几何图形的周长.
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【题目】如图1,圆规两脚形成的角α称为圆规的张角.一个圆规两脚均为12cm,最大张角150°,你能否画出一个半径为20cm的圆?请借助图2说明理由.(参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
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【题目】为迎接中国森博会,某商家计划从厂家采购A,B两种产品共20件,产品的采购单价(元/件)是采购数量(件)的一次函数,下表提供了部分采购数据.
采购数量(件) | 1 | 2 | … |
A产品单价(元/件) | 1480 | 1460 | … |
B产品单价(元/件) | 1290 | 1280 | … |
(1)设A产品的采购数量为x(件),采购单价为y1(元/件),求y1与x的关系式;
(2)经商家与厂家协商,采购A产品的数量不少于B产品数量的 ,且A产品采购单价不低于1200元,求该商家共有几种进货方案;
(3)该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A,B两种产品,且全部售完,在(2)的条件下,求采购A种产品多少件时总利润最大,并求最大利润.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0,8),点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE为边作CDEF.
(1)当0<m<8时,求CE的长(用含m的代数式表示);
(2)当m=3时,是否存在点D,使CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.
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【题目】如图1,已知直线l:y=﹣x+2与y轴交于点A,抛物线y=(x﹣1)2+k经过点A,其顶点为B,另一抛物线y=(x﹣h)2+2﹣h(h>1)的顶点为D,两抛物线相交于点C.
(1)求点B的坐标,并说明点D在直线l上的理由;
(2)设交点C的横坐标为m.
交点C的纵坐标可以表示为:或;
(3)如图2,若∠ACD=90°,求m的值.
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