Question

16．已知△ABC的三边为m²+n²，m²-n²，2mn．
（1）当m=2，n=1时，△ABC是否为直角三角形？并说明理由．
（2）当m=3，n=2时，△ABC是否为直角三角形？并说明理由．
（3）对于m，n为任何正整数时（m＞n），你能说明△ABC为直角三角形吗？

Answer 1

分析 （1）把m、n的值代入计算出m²+n²，m²-n²，2mn的值，再利用勾股定理逆定理进行证明即可；
（2）把m、n的值代入计算出m²+n²，m²-n²，2mn的值，再利用勾股定理逆定理进行证明即可；
（3）利用勾股定理逆定理验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．

解答 解：（1）m=2，n=1时，
m²+n²=5，
m²-n²=3，
2mn=4，
∵3²+4²=5²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）当m=3，n=2时，
m²+n²=13，
m²-n²=5，
2mn=12，
∵5²+12²=13²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵（m²-n²）²+（2mn）²=m⁴+n⁴+2n²m²=（m²+n²）²，
∴对于m，n为任何正整数时（m＞n），△ABC都为直角三角形．

点评 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．