Question

7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点D在BC上且BD=2CD，E，F分别在AB，AC上运动且始终保持∠EDF=45°，设BE=x，CF=y，则y与x之间的函数关系用图象表示为：（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据等边对等角得出∠B=∠C，再证明∠BED=∠CDF=135°-∠BDE，那么△BED∽△CDF，根据相似三角形对应边成比例求出y与x的函数关系式，结合函数值的取值范围即可求解．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3，
∴∠B=∠C=45°，BC=3$\sqrt{2}$．
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=135°，
∵∠EDF=45°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=135°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{BD}{CF}$．
∵BD=2CD，
∴BD=$\frac{2}{3}$BC=2$\sqrt{2}$，CD=$\frac{1}{3}$BC=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{y}$，
∴y=$\frac{4}{x}$，故B、C错误；
∵E，F分别在AB，AC上运动，
∴0＜x≤3，0＜y≤3，故A错误．
故选D．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求反比例函数的解析式，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．