Question

【题目】如图，在ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，且AE⊥AD．

（1）若BG＝2，BC＝，求EF的长度；

（2）求证：CE+BE＝AB．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析

【解析】

（1）在中，利用勾股定理求得，再在等腰中求得；然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，继而得∠EFG＝45°，为等腰直角三角形，可得结果；

（2）据平行四边形的性质结合已知得AE⊥AD，根据等角的余角相等得∠GAE＝∠GCB，从而证得△BCG≌△EAG（AAS），由于AB＝BG+AG＝CE+EG+BG结合BG＝EG＝BE，从而得证.

（1）∵CG⊥AB，

∴∠AGC＝∠CGB＝90°，

∵BG＝2，BC＝，

∴CG=，

∵∠ABF＝45°，

∴BG＝EG＝2，

∴CE＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFG＝∠GBE＝45°，

∴CF＝CE＝3，

∴EF＝CE＝3；

（2）如图，延长AE交BC于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，

∴∠AHB＝∠HAD，

∵AE⊥AD，

∴∠AHB＝∠HAD＝90°，

∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，

∴∠GAE＝∠GCB，

在△BCG与△EAG中，，

∴△BCG≌△EAG（AAS），

∴AG＝CG，

∴AB＝BG+AG＝CE+EG+BG，

∵BG＝EG＝BE，

∴CE+BE＝AB．