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【题目】如图,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A:P′C=1:3,则P′A:PB=(
A.1:
B.1:2
C. :2
D.1:

【答案】B
【解析】解:如图,连接AP,∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′, ∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°,
又∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°,
∴∠ABP=∠CBP′,
在△ABP和△CBP′中,

∴△ABP≌△CBP′(SAS),
∴AP=P′C,
∵P′A:P′C=1:3,
∴AP=3P′A,
连接PP′,则△PBP′是等腰直角三角形,
∴∠BP′P=45°,PP′= PB,
∵∠AP′B=135°,
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°,
∴△APP′是直角三角形,
设P′A=x,则AP=3x,
根据勾股定理,PP′= = =2 x,
∴PP′= PB=2 x,
解得PB=2x,
∴P′A:PB=x:2x=1:2.
故选:B.

【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和旋转的性质的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了才能正确解答此题.

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A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②③④

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