Question

9．如图所示，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，BE平分∠ABC交AD于点E，BE的延长线交DC的延长线于点P．

（1）如图1所示，若点E恰好为AD的中点，直接写出线段AB、BC、CD之间的数量关系，不必证明；
（2）如图2所示，若$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，猜想线段AB、BC、CD之间的数量关系并证明；
（3）若$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{n}$，请直接写出线段AB、BC、CD之间的数量关系，不必证明．

Answer 1

分析 （1）AB=BC+CD；由平行线的性质和角平分线的定义得出∠P=∠CBP，证出PC=BC，AE=DE，由AAS证明△ABE≌△DPE，得出对应边相等AB=DP，即可得出结论；
（2）同（1）得：PC=BC，由平行线得出△ABE∽△DPE，得出对应边成比例，得出AB=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$（PC+CD），即可得出结论；
（3）同（2），即可得出结论．

解答 解：（1）AB=BC+CD；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠P=∠ABP，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴∠P=∠CBP，
∴PC=BC，
∵点E恰好为AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠P}&{\;}\\{∠AEB=∠DEP}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴AB=DP，
∵DP=PC+CD，PC=BC，
∴AB=BC+CD；
（2）AB=$\frac{1}{2}$（BC+CD）；理由如下：
同（1）得：PC=BC，
∵$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DPE，
∴$\frac{AB}{DP}=\frac{AE}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$（PC+CD），
∵PC=BC，
∴AB=$\frac{1}{2}$（BC+CD）；
（3）AB=$\frac{1}{n-1}$（BC+CD）；理由如下：
∵$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{1}{n-1}$，
同（1）得：PC=BC，△ABE∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DP}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{n-1}$，
∴AB=$\frac{1}{n-1}$（BC+CD）．

点评 本题是相似形综合题目，考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、比例的性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要证明三角形全等或三角形相似才能得出结论．