Question

17．如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4），∠OAB=90°，点B在x轴上．
（1）点B的坐标为（8，0）．
（2）如图2，异于O、B的动点C在OB边上，∠ACD=90°，CD=CA，连接AD、OD．猜想：OD与OA的位置关系为垂直，请加以证明．
（3）如图3，AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，G在x轴的负半轴上，∠GFM=45°，FM交直线AE于M，猜想：GO、GM、AM间的数量关系是AM=OG+GM，试证之．

Answer 1

分析 （1）过A作AM⊥BO于M，由点A的坐标为（4，4），于是得到AM=OM=4，∠AOM=∠OAN=45°，由于∠OAB=90°，得到∠BAM=∠ABM=45°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ADC=45°，于是得到∠AOB=∠ADC，推出点A，O，D，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠COD=∠DAC=45°，证得∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°，于是得到结论；
（3）如图3，过F作FH⊥GF，连接EF，推出四边形AFOE是正方形，于是得到AF=OF，∠AFO=90°，证得∠GFO=∠AFH，推出△FGO≌△AFH，根据全等三角形的性质得到OG=AH，FG=FH，∠GFO=∠AFH，证得∠GFM=∠HFM，于是得到△GFM≌△HFM，根据求得三角形的性质得到GM=HM，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过A作AM⊥BO于M，
∵点A的坐标为（4，4），
∴AM=OM=4，∠AOM=∠OAN=45°，
∵∠OAB=90°，
∴∠BAM=∠ABM=45°，
∴BM=AM=4，
∴OB=8，
∴B（8，0）；
故答案为：（8，0）；

（2）垂直，
理由：∵∠ACD=90°，CD=CA，
∴∠ADC=45°，
∴∠AOB=∠ADC，
∴点A，O，D，C四点共圆，
∴∠COD=∠DAC=45°，
∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°，
∴AO⊥DO；
故答案为：垂直；

（3）AM=OG+GM，
理由：如图3，过F作FH⊥GF，连接EF，
∵AF⊥y轴，AE⊥x轴，
∴AE=AF，
∴四边形AFOE是正方形，
∴AF=OF，∠AFO=90°，
∴∠GFO=∠AFH，
在△FGO与△AFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOG=∠A=90°}\\{∠∠GFO=∠AFH}\\{OF=AF}\end{array}\right.$，
∴△FGO≌△AFH，
∴OG=AH，FG=FH，∠GFO=∠AFH，
∵∠GFM=∠AFE=∠OFE=45°，
∴∠GFO=∠AFH=∠EFM，
∴∠GFM=∠HFM，
在△FGM与△HFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FG=FH}\\{∠GFM=∠HFM}\\{FM=FM}\end{array}\right.$，
∴△GFM≌△HFM，
∴GM=HM，
∵AM=AH+HM，
∴AM=OG+GM．
故答案为：AM=OG+GM．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．