Question

2．已知等边△ABC边AB上一动点P，连接PC，在PC上方作等边△PDC，连接AD，CD=3．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若AP=2BP，AC与PD相交于N点，求DN的长；
（3）在（2）的条件下，若PF⊥CD交AC于点E，交CD于点F，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）证明△BCP≌△ACD，得出∠CAD=∠B=60°，利用内错角相等，两直线平行可得出结论；
（2）延长DP交CB的延长线于点G，分别根据△ADP∽△BGP、△ADN∽△CGN，得出各线段之间的关系，然后可得出结论；
（3）取DN中点H，连接FH，则可判断HF是△DNC的中位线，得出HF∥CN，利用相似三角形的性质，可得出PE与PF之间的比例关系，在Rt△PCF中求出PF，即可得出PE．

解答 解：（1）∵∠BCP+∠PCA=∠ACD+∠PCA=60°，
∴∠BCP=∠ACD，
∵△ABC、△PDC是等边三角形，
∴BC=AC，CP=CD，
在△BCP和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCP=∠ACD}\\{CP=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴∠CAD=∠B=60°，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC．

（2）如图，

延长DP交CB的延长线于点G，
设PB=2，则AP=4，
由（1）知：AD=PB=2，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△BGP，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AP}{AB}$=2，
∴AD=2BG，
又∵△ADN∽△CGN，
∴$\frac{DN}{NG}$=$\frac{AD}{CG}$=$\frac{2}{BG+BC}$=$\frac{2}{1+AB}$=$\frac{2}{1+6}$=$\frac{2}{7}$，
设DN=2x，则NG=7x，
∵PD=2PG，
∴PD=6x=3，x=$\frac{1}{2}$，
∴DN=1．

（3）取DN中点H，连接FH，
∵H是ND中点，F是CD中点，
∴HF是△DNC的中位线，
∴HF∥CN，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PN}{PH}$，
又∵PN=2ND，ND=2NH，
∴∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PN}{PH}$=$\frac{4}{5}$，
∴PE=$\frac{4}{5}$PF，
在Rt△PCF中，PF=$\sqrt{P{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴PE=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了相似形的综合，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及平行线的判定与性质，掌握基本的判定方法与性质定理是解决问题的基础．