Question

12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC于点E、M、F，交BC的延长线于点G，给出下列四个等式：①∠1=$\frac{1}{2}$（∠2+∠3）；②∠1=$\frac{1}{2}$（∠3-∠2）；③∠4=$\frac{1}{2}$（∠3-∠2）；④∠4=$\frac{1}{2}$∠1．其中，正确的是①③（填序号）．

Answer 1

分析 求出∠1=∠AFE=∠CFG，根据三角形外角性质求出∠1=∠2+∠4，3=∠4+∠CFG=∠4+∠1，再逐个判断即可．

解答 解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EG⊥AD，
∴∠AMF=∠ANE=90°，
∵∠1+∠BAD+∠AME=180°，∠AFM+∠CAD+∠AMF=180°，
∴∠1=∠AFM，
∴∠3=∠4+∠CFG
=∠4+∠AFM
=∠4+∠1，
∴∠2+∠3=∠2+∠4+∠1
=∠1+∠1
=2∠1，
∴∠1=$\frac{1}{2}$（∠2+∠3），∴①正确；
∵∠3=∠4+∠1，
∴∠3-∠2=∠4+∠1-∠2
∵∠1=∠4+∠2，
∴∠3-∠2=2∠4，
∴$\frac{1}{2}$（∠3-∠2）=∠4，
而∠1＞∠4，
∴∠1=$\frac{1}{2}$（∠3-∠2）错误，∴②错误；
∵∠1=∠AFE，
∵∠3=∠4+∠CFG，∠1=∠2+∠4，∠CFG=∠AFE，
∴∠3=∠4+∠2+∠4，∠4=$\frac{1}{2}$（∠3-∠2），∴③正确；
∵∠1=∠2+∠4，∠2和∠4不一定相等，
∴∠4=$\frac{1}{2}$∠1错误，∴④错误；
故答案为：①③．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．