Question

如图，AC是⊙o的直径，PA切⊙o于点A，点B是⊙o上的-点，且∠BAC=30°，∠APB=60°。
（1）求证：PB是⊙o的切线；
（2）若⊙o的半径为2，求弦AB及PA、PB的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

解析试题分析：（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证．
（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．
试题解析：（1）证明：连接OB．

∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°． 
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°． 
∴OB⊥PB．
又∵点B是⊙O上的-点，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，（6分）
∴PA=．
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=
考点：切线的判定．