Question

已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，-1）
（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；
（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知点D（0，3）和点E（0，-1），可以得到圆的直径，连接AC，根据垂径定理，以及勾股定理就可以求出OB，OE，OC的长度，得到三点的坐标，根据待定系数法就可以求出二次函数的解析式．
（2）过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QN⊥y轴于N，易证△PFA≌△QNA，则FA=NA，即|t-1|=|1-y|，即可得到函数解析式．
（3）当y=0时，Q点与C点重合，连接PB，由PC为⊙A的直径可以得到PB⊥x轴，就可以求出P点的坐标．求出直线PM的解析式，求出切线PM与抛物线y=

1

3

x²-1交点坐标，横坐标x的范围就在两个交点之间．

解答：解：（1）解法一：连接AC
∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC
∴BO=CO
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DE=|3-（-1）|=4，OE=1
∴AO=1，AC=

1

2

DE=2
在Rt△AOC中，AC²=AO²+OC²
∴OC=

3

∴C（

3

，0），B（

3

，0）
设经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-

3

)(x+

3

)，
则-1=a（0-

3

）（0+

3

）
解得a=

1

3

∴y=

1

3

（x-

3

）（x+

3

）=

1

3

x²-1（2分）．
解法二：∵DE为⊙A的直径，DE⊥BC
∴BO=CO
∴OC²=OD•OE
∵D（0，3），E（0，-1）
∴DO=3，OE=1
∴OC2=3×1=3
∴OC=

3

∴C（

3

，0），B（-

3

，0）
以下同解法一；

（2）解法一：过点P作PF⊥y轴于F，过点Q作QN⊥y轴于N
∴∠PFA=∠QNA=90°，F点的纵坐标为t
N点的纵坐标为y
∵∠PAF=∠QAN，PA=QA
∴△PFA≌△QNA
∴FA=NA
∵AO=1
∴A（0，1）
∴|t-1|=|1-y|
∵动切线PM经过第一、二、三象限
观察图形可得1＜t＜3，-1＜y＜1．
∴t-1=1-y．
即y=-t+2．
∴y关于t的函数关系式为y=-t+2（1＜t＜3）（5分）
解法二：（i）当经过一、二、三象限的切线PM运动到使得Q点与C点重合时，y=0
连接PB
∵PC是直径
∴∠PBC=90°
∴PB⊥x轴，
∴PB=t．
∵PA=AC，BO=OC，AO=1，
∴PB=2AO=2，
∴t=2．
即t=2时，y=0．
（ii）当经过一、二、三象限的切线
PM运动使得Q点在x轴上方时，y＞0
观察图形可得1＜t＜2
过P作PS⊥x轴于S，过Q作QT⊥x轴于T

则PS∥AO∥QT
∵点A为线段PQ的中点
∴点O为线段ST的中点
∴AO为梯形QTSP的中位线
∴AO=

QT+PS

2

∴1=

y+t

2

∴y=-t+2．
∴y=-t+2（1＜t＜2）．
（iii）当经过一、二、三象限的切线PM运动使得Q点在x轴下方时，y＜0，观察图形可得2＜t＜3
过P作PS⊥x轴于S，过Q作QT⊥x轴于T，设PQ交x轴于R
则QT∥PS
∴△QRT∽△PRS
∴

QT

PS

=

QR

PR

设AR=m，则

-y

t

=

2-m

2+m

&&（1）
又∵AO⊥x轴，
∴AO∥PS
∴△ROA∽△RSP
∴

AO

PS

=

RA

RP

∴

1

t

=

m

2+m

&&（2）
由（1）、（2）得y=-t+2
∴y=-t+2（2＜t＜3）
综上所述：y与t的函数关系式为y=-t+2（1＜t＜3）（5分）

（3）解法一：当y=0时，Q点与C点重合，连接PB
∵PC为⊙A的直径
∴∠PBC=90°
即PB⊥x轴
∴s=-

3

将y=0代入y=-t+2（1＜t＜3），得0=-t+2
∴t=2∴P（-

3

，2）
设切线PM与y轴交于点I，则AP⊥PI
∴∠API=90°
在△API与△AOC中
∵∠API=∠AOC=90°，∠PAI=∠OAC
∴△API∽△AOC
∴

AP

AO

=

AI

AC

∴I点坐标为（0，5）
设切线PM的解析式为y=kx+5（k≠0），
∵P点的坐标为(-

3

，2)，
∴2=-3 k+5．
解得k=

3

，
∴切线PM的解析式为y=

3

x+5（7分）
设切线PM与抛物线y=

1

3

x²-1交于G、H两点
由

y= 1 3 x2-1 y= 3 x+5

可得x₁=

3 3 -3 11

2

，x2=

3 3 +3 11

2

因此，G、H的横坐标分别为

3 3 -3 11

2

、

3 3 +3 11

2

根据图象可得抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围是

3 3 -3 11

2

＜x＜

3 3 +3 11

2

（9分）
解法二：同（3）解法一
可得P（-

3

，2）
∵直线PM为⊙A的切线，PC为⊙A的直径
∴PC⊥PM
在Rt△CPM与Rt△CBP中
cos∠PCM=

PC

CM

=

CB

PC

∵CB=2

3

，PC=4
∴CM=

PC2

CB

=

16

2 3

=

8 3

3

设M点的坐标为（m，0），
则CM=

3

-m=

8 3

3

∴m=-

5 3

3

．
即M（-

5 3

3

，0）．
设切线PM的解析式为y=kx+b（k≠0），
得

0=- 5 3 3

k+b²=-

3

k+b．
解得

k= 3 b=5

∴切线PM的解析式为y=

3

x+5（7分）
以下同解法一．

点评：本题是圆与函数相结合的题目，主要考查了垂径定理以及勾股定理．待定系数法求函数的解析式，是一个比较难的题目．