Question

【题目】如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+；（2）S=t2（0＜t≤2）；S=t-1（2＜t≤3）；S=﹣t2+4t﹣（3＜t＜4）；（3）存在；t=1或2；

【解析】

（1）设出此抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由与t的取值范围不能确定，故应分三种情况进行讨论，
①当0<t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△OPQ中利用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值即可求出其面积；
②当2<t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP，由梯形的面积公式即可求解；
③当3<t<4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC-S△BMN，进而可求出答案；
（3）根据图形旋转的性质可求出将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°时P、Q两点的坐标，再根据抛物线的解析式即可求出t的值．

（1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，

设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．

把A（1，1），B（3，1）代入上式得：

，

解得．

∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x．

方法二：∵A（1，1），B（3，1），

∴抛物线的对称轴是直线x=2．

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0）

把O（0，0），A（1，1）代入

得，

解得，

∴所求抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+．

（2）分三种情况：

①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，

∵A（1，1），

∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=tcos 45°=t．S=t2，

②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，

则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGP．

∴AG=FH=t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．

③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC．

因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=t，

∴PC=CN=t﹣3，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2，

S=﹣t2+4t﹣．

（3）存在．

当O点在抛物线上时，将O（t，t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去），t=1；

当Q点在抛物线上时，Q（t， t）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2．

故t=1或2．

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