Question

如图，在等边三角形ABC中，∠ADE=60°．
（1）求证：AB•CE=BD•CD．
（2）若AB=9，BD=3，求AE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，AB=BC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，然后求出∠BAD=∠CDE，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABD和△DCE相似，然后利用相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
（2）求出CD，再利用相似三角形对应边成比例列式求出CE，然后根据AE=AC-CE计算即可得解．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADE=60°，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，
∴AB•CE=BD•CD；

（2）解：∵AB=9，BD=3，
∴CD=9-3=6，
∵

AB

CD

=

BD

CE

，
∴CE=

BD•CD

AB

=

3×6

9

=2，
∴AE=AC-CE=9-2=7．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并确定出相似三角形是解题的关键．