Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG= DQ，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线 可知，C（0，3），
令y=0，则 ，
解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）解：由抛物线 可知，对称轴为x=﹣1，
设M点的横坐标为m，
则PM= ，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（ ）×2= =
∴当m=﹣2时矩形的周长最大．
（3）解：∵矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（ ）×2= = ∴当m=﹣2时矩形的周长最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S= AMEM=
（4）解：∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ=DC，把x=﹣1代入 ，解得y=4，∴D（﹣1，4），∴DQ=DC= ，∵FG= DQ，∴FG=4，设F（n， ），则G（n，n+3），∵点G在点F的上方，∴ =4，解得：n=﹣4或n=1，∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【解析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，建立方程求出点A，B，C的坐标。
（2）先确定出抛物线对称轴，设M点的横坐标为m，用含m表示出PM，MN，再根据矩形PMNQ的周长=2（PM+MN），建立函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结果。
（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可求出出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ=DC=，求出FG的长，设点F的坐标及点G的坐标，根据FG的长=4，建立方程，解方程求出n的值，就可求出点F的坐标。