Question

13．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连续BE，设∠BEC=α，则cosa的值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 首先连接BC，根据AB为⊙O直径，可得∠BCA=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出BC的长度是多少；然后在Rt△BCE中，由勾股定理，求出BE的长度是多少；最后根据一个角的正弦的求法，求出sinα的值为多少即可．

解答 解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
又∵AB=2OA=10，AC=8，
∴BC=6，
又∵OD⊥AC，
∴CE=AE=4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得
BE=$\sqrt{B{C}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴cosa=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{4}{2\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 此题主要考查了圆周角定理的应用，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．还考查了直角三角形的性质的应用，以及勾股定理的应用，还考查了锐角三角函数的定义以及求法，要熟练掌握．