Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为cm（用含x的代数式表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）x
（2）解：如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，

∵D为PQ中点，

∴DQ=x，

∴GP=x，

∴2x+x+2x=4，

∴x= ；

（3）解：如图②，当0＜x≤ 时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，

∴y=x2；

如图③，当 ＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH= AB=2，

∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，

∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，

∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣ FM2，

∴y=x2﹣ （5x﹣4）2=﹣ x2+20x﹣8，

∴y=﹣ x2+20x﹣8；

如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，

∴DQ=2﹣x，

∴y=S△DEQ= DQ2，

∴y= （2﹣x）2，

∴y= x2﹣2x+2；

（4）解：当Q与C重合时，E为BC的中点，

即2x=2，

∴x=1，

当Q为BC的中点时，BQ= ，

PB=1，

∴AP=3，

∴2x=3，

∴x= ，

∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜ ．

【解析】（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，

∴∠AQP=45°，

∴PQ=AP=2x，

∵D为PQ中点，

∴DQ=x，

所以答案是：x；

（2）结合题意，画出示意图，FG=BG=2x,PQ=AP=2x,由AB=x+2x+2x构建方程，求出x；（3）由第（2）题为基础，x=是分界点，分段讨论时就分为0＜x≤ ， ＜x≤1，1＜x＜2；（4）先假设中点落在正方形的两个顶点为极限点，分别求出极限点时对应的x值，即可求出范围.

【考点精析】本题主要考查了函数关系式和函数自变量的取值范围的相关知识点，需要掌握用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围才能正确解答此题．