Question

【题目】如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：

（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

在△AEH与△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF（SAS）

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．

又∵AE=CG，AH=CF，

∴BE=DG，BF=DH，

在△BEF与△DGH中，

∴△BEF≌△DGH（SAS），

∴EF=GH．

又由（1）知，△AEH≌△CGF，

∴EH=GF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴HG∥EF，

∴∠HGE=∠FEG，

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠HEG=∠HGE，

∴HE=HG，

∴四边形EFGH是菱形．

【解析】（1）由已知结合图形容易利用SAS证明两个三角形全等；
（2）先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明一组邻边相等，利用平行线的性质和EG平分∠HEF可证得∠HEG=∠HGE，从而得到HE=HG，即可得证.