Question

已知正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为

AB

的中点，求证：PA与⊙O的半径的和等于PC．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：证明题

分析：首先根据题意画出图形，然后连接OA并延长至Q，使得AQ=PA；连接OP、OC、OB．易求得△OPA是等腰三角形，继而求得∠CPO=∠POA，∠POC=∠OPQ=108°，证得PC∥OQ，OC∥PQ，可得四边形OCPQ是平行四边形，即可证得结论．

解答：证明：连接OA并延长至Q，使得AQ=PA；连接OP、OC、OB．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=

360°

5

=72°，
∵点P为

AB

的中点，
∵∠POA=∠POB=

1

2

∠AOB=36°，
∴∠PAO=∠APO=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵AP=AQ，
∴∠PQA=∠APQ=

1

2

∠PAO=

1

2

×72°=36°，
∴∠PQA=∠POA，
∴PQ=PO．
∵∠POC=∠BOC+∠POB=72°+36°=108°，OP=OC，
∴∠CPO=∠PCO=

1

2

（180°-108°）=36°，
∴∠CPO=∠POA，∠POC=∠OPQ=108°，
∴PC∥OQ，OC∥PQ，
∴四边形OCPQ是平行四边形，
∴PC=OQ=OA+AQ=OA+PA．
即PA与⊙O的半径的和等于PC．

点评：此题考查了正多边形与圆的知识、等腰三角形的性质以及平行四边形的性质与判定．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．