Question

如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，以直线AB为x轴，直线MN为y轴建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，请写出⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,坐标与图形性质,勾股定理

专题：计算题

分析：连结AC，如图，作半径CD⊥y轴，根据垂径定理得AO=

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AB=4，在Rt△AOC中根据勾股定理计算出OC=3，则C点坐标为（0，3），D点坐标为（-5，3），N点坐标为（-2，0），M点坐标为（8，0），然后分类讨论：由于⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的横坐标只能为-1、-2、-3、-4、-5，则设出整数点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于整数点的纵坐标的方程，再解方程确定满足条件的纵坐标即可．

解答：解：连结AC，如图，作半径CD⊥y轴，
∵直径MN=10，
∴AC=CM=CN=CD=5，
∵MN⊥AB，
∴AO=BO=

1

2

AB=4，
在Rt△AOC中，OC=

AC2-AO2

=3，
∴C点坐标为（0，3），D点坐标为（-5，3），
∴N点坐标为（-2，0），M点坐标为（8，0），
当⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标为（-1，t），则1²+（t-3）²=5²，解得t₁=3+2

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，t₂=3-2

6

，t的值不是整数，舍去；
当⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标为（-2，t），则（-2）²+（t-3）²=5²，解得t₁=3+

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，t₂=3-

21

，t的值不是整数，舍去；
当⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标为（-3，t），则（-3）²+（t-3）²=5²，解得t₁=-1，t₂=7，满足条件的整数点的坐标为（-3，-1），（-3，7）；
当⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标为（-4，t），则（-4）²+（t-3）²=5²，解得t₁=0（舍去），t₂=6，满足条件的整数点的坐标为（-4，6）；
当⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标为（-5，t），则（-5）²+（t-3）²=5²，解得t₁=t₂=3，满足条件的整数点的坐标为（-5，3），
∴⊙C上位于第二象限和第三象限的整数点的坐标为（-3，-1），（-3，7），（-4，6），（-5，3）．
故答案为（-3，-1），（-3，7），（-4，6），（-5，3）．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、两点间的距离公式和坐标与图形性质．