Question

【题目】如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．

(1)求∠DCE的度数；

(2)当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）900；（2）

【解析】

（1）由题意我们知道∠A＋∠C＝90°，那么我们只要通过全等三角形来得出∠BCE＝∠A，就能得出∠DCE＝90°的结论，那么关键就是证明三角形ADB和CBE全等，根据题意我们知三角形CBE是由三角形ABD旋转得来，根据旋转的性质我们可得出两三角形全等．

（2）由（1）可得出三角形DEC是个直角三角形，要求DE的长，就必须求出CD和CE，由（1）可知AD＝CE，那么就必须求出AD和DC的长，有AD，CD的比例关系，那么求出AC就是关键．直角三角形ABC中，AB＝AC，有AB的长，进而可得AC的值．

（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，

∴△ABD≌△CBE，

∴∠A＝∠BCE＝45°，

∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，

∵AB＝4，∴AC＝4，

又∵AD：DC＝1：3，

∴AD＝，DC＝3．

由（1）知AD＝CE且∠DCE＝90°，

∴DE2＝DC2＋CE2＝2＋18＝20，

∴DE＝．