Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=

4

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积．

Answer 1

分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE=

4

5

，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（-3，4），把A（-3，4）代入y=

m

x

，确定反比例函数的解析式为y=-

12

x

；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．
（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．

解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，
∵sin∠AOE=

4

5

，OA=5，
∴sin∠AOE=

AD

OA

=

AD

5

=

4

5

，
∴AD=4，
∴DO=

52-42

=3，
而点A在第二象限，
∴点A的坐标为（-3，4），
将A（-3，4）代入y=

m

x

，得m=-12，
∴反比例函数的解析式为y=-

12

x

；
将B（6，n）代入y=-

12

x

，得n=-2；
将A（-3，4）和B（6，-2）分别代入y=kx+b（k≠0），得

-3k+b=4 6k+b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=2

，
∴所求的一次函数的解析式为y=-

2

3

x+2；

（2）在y=-

2

3

x+2中，令y=0，
即-

2

3

x+2=0，
解得x=3，
∴C点坐标为（3，0），即OC=3，
∴S_△AOC=

1

2

•AD•OC=

1

2

•4•3=6．

点评：本题考查了点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了正弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式．