【题目】
情境观察:将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.
观察图2可知:与BC相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °.
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB=k AE,AC=k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由.
【答案】情境观察:AD(或A′D),90
问题探究:EP=FQ. 证明见解析
结论: HE=HF. 证明见解析
【解析】
情境观察
AD(或A′D),90
问题探究
结论:EP=FQ.
证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ
拓展延伸
结论: HE=HF.
理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,
同理△ACG∽△FAQ,
∵AB= k AE,AC= kAF,∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF
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【题目】有一块形状如图的五边形余料,,,,,.要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一边在上,并使所截矩形的面积尽可能大.
(1)若所截矩形材料的一条边是或,求矩形材料的面积;
(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料?如果能,求出这些矩形材料面积的最大值,如果不能,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某商店销售一种商品,童威经市场调查发现:该商品的周销售量(件)是售价(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润(元)的三组对应值如下表:
售价(元/件) | 50 | 60 | 80 |
周销售量(件) | 100 | 80 | 40 |
周销售利润(元) | 1000 | 1600 | 1600 |
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)
(1)①求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)
②该商品进价是_________元/件;当售价是________元/件时,周销售利润最大,最大利润是__________元
(2)由于某种原因,该商品进价提高了元/件,物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求的值
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【题目】“五一劳动节大酬宾!”,某商场设计的促销活动如下:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球,球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样.规定:在本商场同一日内,顾客每消费满300元,就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回).商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券,购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费300元.
(1)该顾客至多可得到________元购物券;
(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是1:将直线沿y向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点C,如果的面积为3,则平移后的直线的函数表达式为_____.
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【题目】将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB(其中∠ABD=∠ACB=90°,∠D=60°,∠ABC=45°)如图摆放,Rt△ABD中∠D所对的直角边与Rt△ACB的斜边恰好重合.以AB为直径的圆经过点C,且与AD相交于点E,连接EB,连接CE并延长交BD于F.
(1)求证:EF平分∠BED;
(2)求△BEF与△DEF的面积的比值.
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【题目】如图,已知AB是⊙O上的点,C是⊙O上的点,点D在AB的延长线上,∠BCD=∠BAC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.
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【题目】下表中给出了变量x与ax2,ax2+bx+c之间的部分对应值(表格中的符号“…”表示该项数据已经丢失)
x | -1 | 0 | 1 |
ax | … | … | 1 |
ax+ bx + c | 7 | 2 | … |
(1)写出这条抛物线的开口方向,顶点D的坐标;并说明它的变化情况;
(2)抛物线的顶点为D,与y轴的交点为A,点M是抛物线对称轴上的一点,直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B,当△ADM与△BDM的面积比为2:3时,求点B的坐标:
(3)在(2)的条件下,设线段BD交x轴于点C,试写出∠BAD与∠DCO的数量关系,并说明理由.
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