在平面直角坐标系xOy中.顶点D在第一象限的抛物线y=-x2-kx-(k-1)与x轴交于A(x1.0).B(x2.0)两点(点A在点B的左侧.OA＜OB).交y 轴于点C.且x${\;} {1}^{2}$+x${\;} {2}^{2}$=10．(1)求抛物线的函数表达式,(2)设△ABC的外接圆圆心为P.过P的直线与直线AC交于Q.与x轴交于R.若△ABC与△ARQ相似.求R� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

在平面直角坐标系xOy中，顶点D在第一象限的抛物线y=-x²-kx-（k-1）与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（点A在点B的左侧，OA＜OB），交y 轴于点C，且x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设△ABC的外接圆圆心为P，过P的直线与直线AC交于Q，与x轴交于R，若△ABC与△ARQ相似，求R的坐标；
（3）将此抛物线从点B沿射线BD方向平移（使得顶点D始终在BD上），若平移后的抛物线与直线BD交于点N、K，在y正半轴上是否存在点M，使△MNK为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标．

分析（1）利用抛物线对应的一元二次方程两根之间关系求出K值，代回抛物线，验算满足顶点D在第一象限即可求出抛物线解析式；
（2）利用三角形外心性质求出P的坐标，设出PQ直线解析式，联立方程组，求出点P、Q坐标，利用两点间距离公式，求出相似三角形对应线段的长，分类讨论相似三角形，即可求出点R的坐标；
（3）求出直线BD解析式及线段BD长度，由题意知BD=KN，设出点N点K坐标，利用等腰三角形性质求出点M坐标；

解答解：（1）令y=0，
-x²-kx-（k-1）=0，
∴（x-1）[x+（k-1）]=0，
∴x=1或x=1-k，
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=10，
∴1+（1-k）²=10．
解得：k=4，或k=-2，
当k=4，抛物线为y=-x²-4x-3，
顶点D横坐标为-2，不在第一象限，舍去，
当k=-2时，抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
顶点坐标D（1，4），
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）得：A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴线段AB垂直平分线为直线x=1，
线段BC的垂直平分线为直线y=x，
联立得P（1，1），
直线AC解析式为：y=3x+3，
设直线PQ：y=kx+b，代入（1，1），
得y=kx+1-k，
令y=0，x=$\frac{k-1}{k}$，
∴R（$\frac{k-1}{k}$，0）
联立：直线AC和QR
求得Q（$\frac{2+k}{k-3}$，$\frac{6k-3}{k-3}$），
利用勾股定理求得：
AC=$\sqrt{10}$，AB=4，AQ=$\sqrt{（-1-\frac{2+k}{k-3}）^{2}+（\frac{6k-3}{k-3}）^{2}}$），AR=$\frac{k-1}{k}$+1
当△ARQ∽△ABC时，
$\frac{AC}{AQ}$=$\frac{AB}{AR}$，解得：k=-1，
∴R（2，0）．
当△ARQ∽△ACB时，
$\frac{AC}{AR}=\frac{AB}{AQ}$，解得k=-2，
∴R（$\frac{3}{2}$，0）．
∴R的坐标为R（$\frac{3}{2}$，0）或R（2，0）．

（3）设直线BD解析式为y=kx+b，
∵B（3，0），D（1，4），
代入直线解析式得：k=-2，b=6，
∴直线BD解析式为y=-2x+6，
BD=$\sqrt{{4}^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设点M（0．b），
当BM=BD=2$\sqrt{5}$，
∴OM=$\sqrt{B{M}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{20-9}$=$\sqrt{11}$，
∴M（0，$\sqrt{11}$．
当BD=BM时，根据抛物线对称性，点M在y轴负半轴，不符合题意．
当BM=DM时，
$\sqrt{9+{b}^{2}}$=$\sqrt{1+（4-b）^{2}}$，
解得：b=1，
∴M（0，1）．
综上所述，点M坐标为（0，1）或（0，$\sqrt{11}$）．

点评题目考查的二次函数的综合应用，通过对二次函数一次函数解析式的求解，结合相似三角形，考查学生解决综合问题的能力，题目整体较难，属于压轴题，适合学生针对中考压轴训练．

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16．

如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，连接AC、BD、AD、BC交于点Q．
（1）若∠DAB=40°，求∠CAD的大小；
（2）若CA=10，CB=16，求CQ的长．

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17．如图：各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是M=m×（n+1）

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14．

方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A₁B₁C₁．
（2）求点B在旋转过程中所经过的路径长（结果保留π）

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1．在“解直角三角形”一章我们学习到“锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数”．
小力根据学习函数的经验，对锐角的正弦函数进行了探究．下面是小力的探究过程，请补充完成：
（1）函数的定义是：“一般地，在一个变化的过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数”．由函数定义可知，锐角的正弦函数的自变量是锐角的角度，因变量是正弦值，自变量的取值范围是大于0°且小于90°．
（2）利用描点法画函数的图象．小力先上网查到了整锐角的正弦值，如下：
sin1°=0.01745240643728351   sin2°=0.03489949670250097   sin3°=0.05233595624294383
sin4°=0.0697564737441253    sin5°=0.08715574274765816   sin6°=0.10452846326765346
sin7°=0.12186934340514747   sin8°=0.13917310096006544   sin9°=0.15643446504023087
sin10°=0.17364817766693033  sin11°=0.1908089953765448   sin12°=0.20791169081775931
sin13°=0.22495105434386497  sin14°=0.24192189559966773  sin15°=0.25881904510252074
sin16°=0.27563735581699916  sin17°=0.2923717047227367   sin18°=0.3090169943749474
sin19°=0.3255681544571567   sin20°=0.3420201433256687   sin21°=0.35836794954530027
sin22°=0.374606593415912    sin23°=0.3907311284892737   sin24°=0.40673664307580015
sin25°=0.42261826174069944  sin26°=0.4383711467890774   sin27°=0.45399049973954675
sin28°=0.4694715627858908   sin29°=0.48480962024633706   sin30°=0.5000000000000000
sin31°=0.5150380749100542   sin32°=0.5299192642332049   sin33°=0.544639035015027
sin34°=0.5591929034707468   sin35°=0.573576436351046     sin36°=0.5877852522924731
sin37°=0.6018150231520483   sin38°=0.6156614753256583    sin39°=0.6293203910498375
sin40°=0.6427876096865392   sin41°=0.6560590289905073    sin42°=0.6691306063588582
sin43°=0.6819983600624985   sin44°=0.6946583704589972    sin45°=0.7071067811865475
sin46°=0.7193398003386511   sin47°=0.7313537016191705    sin48°=0.7431448254773941
sin49°=0.7547095802227719   sin50°=0.766044443118978     sin51°=0.7771459614569708
sin52°=0.7880107536067219   sin53°=0.7986355100472928    sin54°=0.8090169943749474
sin55°=0.8191520442889918   sin56°=0.8290375725550417    sin57°=0.8386705679454239
sin58°=0.848048096156426    sin59°=0.8571673007021122    sin60°=0.8660254037844386
sin61°=0.8746197071393957   sin62°=0.8829475928589269    sin63°=0.8910065241883678
sin64°=0.898794046299167    sin65°=0.9063077870366499    sin66°=0.9135454576426009
sin67°=0.9205048534524404   sin68°=0.9271838545667873    sin69°=0.9335804264972017
sin70°=0.9396926207859083   sin71°=0.9455185755993167    sin72°=0.9510565162951535
sin73°=0.9563047559630354   sin74°=0.9612616959383189    sin75°=0.9659258262890683
sin76°=0.9702957262759965   sin77°=0.9743700647852352    sin78°=0.9781476007338057
sin79°=0.981627183447664    sin80°=0.984807753012208     sin81°=0.9876883405951378
sin82°=0.9902680687415704   sin83°=0.992546151641322     sin84°=0.9945218953682733
sin85°=0.9961946980917455   sin86°=0.9975640502598242    sin87°=0.9986295347545738
sin88°=0.9993908270190958   sin89°=0.9998476951563913
①列表（小力选取了10对数值）；

…

②建立平面直角坐标系（两坐标轴可视数值需要分别选取不同长度做为单位长度）；
③描点．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点；
④连线．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：y随x（0°＜x＜90°）的增大而增大．

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科目：初中数学 来源： 题型：选择题

6．下列计算正确的是（　　）

A．

2a+2b=5ab

B．

-2m+2m=0

C．

5x²-x=5x

D．

4p³-p²=3p

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

13．计算．
（1）2+（-4）-6+8
（2）6÷1$\frac{1}{2}$×4÷（-8）
（3）（-$\frac{1}{7}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$）×28
（4）（-3）²-|-6|+3
（5）2³-（-3）²×（-$\frac{1}{3}$）+5²÷|-1-4|
（6）（$\frac{1}{2}$-1）×（$\frac{1}{3}$-1）×（$\frac{1}{4}$-1）×…×（$\frac{1}{2012}$-1）

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

10．

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别交于点M、N．
（1）求证：△ABE≌△EDA；
（2）求证：点M是AD的黄金分割点．

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科目：初中数学 来源： 题型：选择题

11．九年级（1）班姜玲同学某周7天进行自主复习时间（单位：分钟）如下：50，60，80，90，60，70，60．这组数据的众数是（　　）

A．

B．

C．

D．

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