Question

如图，在平面直角坐标系中，有平行四边形ABCD，且A（-1，0），B（0，），C（3，0），BD交x轴于E点．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若反比例函数（k≠0）与BC交于M、N两点，且BM=MN，求k；
（3）在反比例函数（k≠0）上取一点F，使∠BFE=30°，连接AF，判断AF与BF、EF之间存在怎样的数量关系并证明．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），B（0，），C（3，0），
∴AB²=1+3=4，BC²=9+3=12，AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）MG⊥y轴于G，NH⊥y轴于H，则MG∥NH，
∴GM：HN=BG：BH=BM：BN=1：2．
设点M的坐标为（a，b），由HN=2GM可知N点的横坐标为2a，
又∵M、N都在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴N点的纵坐标为=b，即N点的坐标为（2a，b），
∴OH=b，OG=b，
∴GH=OH=b，
又∵BG=GH，
∴BG=GH=OH=b，
由OB=，可得b=．
同理，由OC=3，可得a=1．
∴k=ab=；

（3）AF与BF、EF之间存在的数量关系是AF²=BF²+EF²．理由如下：
以EF为边构造等边三角形EFP，连接BP，AF，则△BFP为直角三角形，
则BP²=BF²+PF²，
可证△AFE≌△BPE（SAS），
得AF=BP，
从而可得AF²=BF²+EF²．
分析：（1）先求出AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可得出∠ABC=90°，从而判断平行四边形ABCD是矩形；
（2）如果分别过点M、N作MG⊥y轴于G，NH⊥y轴于H，则MG∥NH，设点M的坐标为（a，b）．根据平行线分线段成比例定理及M、N都在反比例函数（k≠0）的图象上，可得M、N为线段BC的三等分点，从而分别求出a，b的值，则k=ab可求；
（3）AF与BF、EF之间存在的数量关系是AF²=BF²+EF²．以EF为边构造等边三角形EFP，连接BP，AF，则△BFP为直角三角形；则BP²=BF²+PF²，可证△AFE≌△BPE（SAS），得AF=BP，从而可得AF²=BF²+EF²．
点评：本题主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，有一定的难度．