Question

如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点A、B，且OA=5．
（1）求A、B两点的坐标及OB的长（如图1）
（2）在第一象限双曲线上是否存在点Q，使∠AQB=90°？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（如图2）
（3）如图3，点P是第一象限双曲线上的一动点，AD⊥BP于D点，交y轴于N点，BP交x轴于M点，连MN，试探究BM，AN，MN这三条线段之间有何等量关系，证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵k＞0，且OA与OB是对称的，
∴OB=5，联立方程：与，
解得：A，B坐标分别为：
（，），（-，-），
由OA=5得：+=25，
解得：k=12，
坐标A（4，3），B（-4，-3）；

（2）可以转化成双曲线Y=与圆x ²+y²=25，在第一象限是否有二个不同实数根．
联立两个方程得：x⁴-25x²+144=0，
解得：x=4或x=3，
x=4时就是点A，
所以存在Q点，坐标为（3，4）；

（3）结论为：BM²+AN²=MN²．
过点B作BC∥AN，交Y轴于C，连接CM．
∵OA=OB，∠AON=∠BOC，∠ANO=∠BCO，
∴△AON≌BOC，
∴AN=BC，MN=MC，
∵AD⊥BP，
∴BC⊥BP，
∴∠MBC=90°，
∴BC²+BM²=CM²，
即BM²+AN²=MN²．
分析：（1）联立方程：与，表示出A，B两点的坐标，再有OA=5，可以利用勾股定理求出；
（2）可以转化成双曲线Y=与圆x ²+y²=25，求出x的值即可；
（3）首先过点B作BC∥AN，交Y轴于C，连接CM．可证得△AON≌BOC，然后由勾股定理可得关于BM，AN，MN这三条线段之间的比例式，进而探索结论为BM²+AN²=MN²．
点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，将两函数联立求出交点是解决问题的关键，同学们在做题过程中应学会应用这种方法．