Question

【题目】如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）解析式为y=﹣x2+4；（2）构造的三角形是等腰三角形的概率是；（3）存在，tan∠MAN的值为1或4或．

【解析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；

（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；

（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=，再根据三角形面积公式计算出MN=，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可计算出BH=，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到（﹣t）=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．

（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，

把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，

∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；

（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A（﹣1，0），

当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；

当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），

从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，

∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，

∴△BCD为等腰三角形，

∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；

（3）存在，

易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=ACOB=×3×4=6，

M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），

①当N点在AC上，如图1，

∴△AMN的面积为△ABC面积的，

∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，

当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，

∴tan∠MAC==4；

当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，

∴tan∠MAC==1；

②当N点在BC上，如图2，

BC==2，

∵BCAN=ACBC，解得AN=，

∵S△AMN=ANMN=2，

∴MN==，

∴∠MAC=；

③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，

由②得AH=，则BH=，

∵∠NBG=∠HBA，

∴△BNM∽△BHA，

∴，即，

∴MN=，

∵ANMN=2，

即（﹣t）=2，

整理得3t2﹣3t+14=0，△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，

∴点N在AB上不符合条件，

综上所述，tan∠MAN的值为1或4或．