Question

12．如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（8，6）．点Q从B向O运动，点P从O向A运动，两点时同出发，速度均为每秒1个单位，同时出发运动时间为t秒，当其中一点到达终点时两点伺时停止运动．
（1）求点Q的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，P、Q、C三点共线；
（3）当t为何值时，△OPQ为等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）过点Q作QD⊥x轴于点D，利用相似三角形的判定与性质进行解答即可；
（2）当P、Q、C三点共线时，根据直线PC与直线OB相交来解答；
（3）需要分类讨论：OP=OQ、OP=PQ、OQ=PQ．

解答 解：（1）∵在矩形OABC中，点B的坐标为（8，6），
∴OA=8，AB=6，
∴由勾股定理得到：OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．
如图，过点Q作QD⊥x轴于点D，
则QD∥BA，
∴△OQD∽△ABA，
∴$\frac{QD}{BA}$=$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$，即$\frac{QD}{6}$=$\frac{10-t}{10}$=$\frac{OD}{8}$，
则QD=6-$\frac{3}{5}$t，OD=8-$\frac{4}{5}$t．
故Q（8-$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{3}{5}$t）；

（2）当P、Q、C三点共线时，C（0，6），P（t，0）．
直线CP的解析式为：y=-$\frac{6}{t}$x．
由O（0，0），B（8，6）得到直线OB的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{t}}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{8}{t}$．
则8-$\frac{4}{5}$t=-$\frac{8}{t}$，
解得t=5+$\sqrt{15}$（舍去）或t=5-$\sqrt{15}$
当t=5-$\sqrt{15}$时，P、Q、C三点共线；

（3）①当OP=OQ时，10-t=t，则t=5；
②当OP=PQ=t时，（8-$\frac{4}{5}$t-t）²+（6-$\frac{3}{5}$t）²=t²，
解得t=10（舍去）或t=$\frac{25}{13}$．
③当OQ=PQ=10-t时，（t-8+$\frac{4}{5}$t）²+（6-$\frac{3}{5}$t）²=（10-t）²，
解得t=0（舍去）或t=$\frac{80}{13}$（舍去）．
综上所述，当t的值为5或$\frac{25}{13}$时，△OPQ为等腰三角形．

点评 本题考查了四边形综合题．解题时，利用了待定系数法求直线方程，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，解答（3）题时，需要分类讨论，以防漏解或错解．