【题目】如图,在△ABC中,点O在BC边上,以OC为半径作⊙O,与AB切于点D,与边BC,AC分别交于点E,F,且弧DE=弧DF.
(1)求证:△ABC是直角三角形.
(2)连结CD交OF于点P,当cos∠B=时,求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接OD,根据圆周角定理得出∠ACD=∠BCD,由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC,即可得到∠ODC=∠ACD,得出OD∥CA,根据平行线的性质即可得出结论;
(2)连接EF,根据圆周角定理得出∠EFC=90°,进而证得AB∥EF,平行线的性质得出∠CEF=∠B,得出cos∠CEF=cos∠B=,设OC=OD=OE=a,则EF=a,即可求得CF=a,由△PDO∽△PCF,即可证得== .
(1)证明:如图,连接OD,
∵⊙O与AB切于点D,
∴OD⊥AB,
∴∠BDO=90°,
∵弧DE=弧DF.
∴∠ACD=∠BCD,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC,
∴∠ODC=∠ACD,
∴OD∥CA,
∴∠BAC=∠BDO=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(2)解:连接EF,∵CE是直径,
∴∠EFC=90°,
∴∠BAC=∠EFC,
∴AB∥EF,
∴∠CEF=∠B,
∴cos∠CEF=cos∠B=,
设OC=OD=OE=a,则EF=a,
∴CF=a,
∵OD∥CF,
∴△PDO∽△PCF,
∴==.
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【题目】如下表所示,有A、B两组数:
第1个数 | 第2个数 | 第3个数 | 第4个数 | …… | 第9个数 | …… | 第n个数 | |
A组 | ﹣6 | ﹣5 | ﹣2 | …… | 58 | …… | n2﹣2n﹣5 | |
B组 | 1 | 4 | 7 | 10 | …… | 25 | …… |
(1)A组第4个数是 ;
(2)用含n的代数式表示B组第n个数是 ,并简述理由;
(3)在这两组数中,是否存在同一列上的两个数相等,请说明.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线相应的函数表达式;
(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,连接NB.若点M的横坐标为t,是否存在t,使MN的长最大?若存在,求出sin∠MBN的值;若不存在,请说明理由;
(3)若对一切x≥0均有ax2+bx+c≤mx-m+13成立,求实数m的取值范围.
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【题目】若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2.
(1)求m的取值范围;
(2)如果这个方程的两个实根分别为x1=α,x2=β,且α<β,当m>0时,试比较α,β,2,3的大小,并用“<”连接;
(3)求二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图像与x轴的交点坐标.
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【题目】如图,已知抛物线 经过 、 两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图,已知点N在抛物线上,且 .
①求出点N的坐标;
②在(2)的条件下,直接写出所有满足 的点P的坐标.
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【题目】如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,交BA的延长线于点F,若弧EF的长为π,则图中阴影部分的面积为______.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=与x轴交于A,C(A在C的左侧),点B在抛物线上,其横坐标为1,连接BC,BO,点F为OB中点.
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)若点D为抛物线第四象限上的一个动点,连接BD,CD,点E为x轴上一动点,当△BCD的面积的最大时,求点D的坐标,及|FE﹣DE|的最大值;
(3)如图2,若点G与点B关于抛物线对称轴对称,直线BG与y轴交于点M,点N是线段BG上的一动点,连接NF,MF,当∠NFO=3∠BNF时,连接CN,将直线BO绕点O旋转,记旋转中的直线BO为B′O,直线B′O与直线CN交于点Q,当△OCQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.
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【题目】如图①,在等腰直角三角形中,,,D,E分别在上,且,此时有,.
(1)如图①中 绕点A旋转至如图②时上述结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)将图①中的绕点A旋转至DE与直线AC垂直,直线BD交CE于点F,若,,请画出图形,并求出BF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O是边长为2的正方形ABCD的中心.函数y=(x﹣h)2的图象与正方形ABCD有公共点,则h的取值范围是_____.
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