Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值；

（3）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当∠NFO＝3∠BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为B′O，直线B′O与直线CN交于点Q，当△OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+；（2）D（，﹣）；|FE﹣DE|的最大值为；（3）点Q的坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（﹣，），Q4（+，﹣）．

【解析】

（1）令抛物线y＝0，求出点C的坐标，再令x＝1，求出点B坐标，待定系数法求出直线BC的解析式；

（2）三角形面积最值转换成求DH的最大值，然后利用二次函数的求最值问题解决点D的坐标，|FEDE|的最大值，可将点D和点F转换到x轴的同一侧，再利用共线时差值最大求出线段长度即可．

（3）找等腰三角形问题，要分类讨论，以OC为腰，或以OC为底都可以，利用∠OCN的正切值求出边之间的比例关系，求出点Q的坐标．

（1）令y＝0，解得x1＝，x2＝，

∴A（，0），B（，0）

当x＝1时，y＝2

∴B（1，2）

设直线BC的解析式为y＝kxb代入点B和C

，

解得

∴直线BC的解析式为y＝;

（2）设点D（m，）

过点D作x轴的平行线，交BC于点H，

则点H（m，﹣m+）

HD＝﹣m+﹣（）＝﹣（m﹣）2+

∴当m＝时，HD取最大值，此时S△BCD的面积取最大值．

D（，）

作D关于x轴的对称点D′

则D′（，）

连接D′H交x轴于一点E，此时D′E﹣FE最大，即为D′F的长度

∵F为OB的中点

∴F（，）

∴D′F＝

∴|FE﹣DE|的最大值为．

（3）由题意可知M（0，2）

∵∠NFO＝3∠BNF

∴∠FBN＝2∠BNF

作∠FBN的角平分线交x轴于点E

则∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF

过点B作x轴的垂线，垂足为点J

则J（1，0）

∵OB＝＝3

∴OE＝3

∴EJ＝2

∵BJ＝2

∴tan∠BEJ＝，

∴tan∠BNF＝，

过点F作MN的垂线，垂足为D

则FD＝，

∴ND＝1

∴N（，2）

连接NC

∵tan∠NCO＝

①当OQ1等于CQ1时，过点Q1作OC的垂线，垂足为I

∵OC＝

∴CI＝

∴Q1I＝

∴Q1（，）

②当OC＝CQ3时，过点Q3作OC的垂线，垂足为K

∵OC＝，∴CQ3＝，

CK＝，Q3K＝

∴Q3（，）

③当OQ2＝OC时，过点Q2作OC的垂线，垂足为P

∵OC＝3，∴OQ2＝3

设PC＝a，则Q2P＝a，OP＝﹣a

根据勾股定理解得a＝

∴Q2（，）

④当Q4在NC的延长线上时，CQ4＝OC

同理可得，Q4（，）

综上所述：点Q的坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，，）．