Question

如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E=

1

3

∠CAD，求∠C的度数．

Answer 1

分析：（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE；
（2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可；

解答：解：（1）∵∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
即∠BAC=∠DAE，
又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中

∠BAE=∠DAE ∠B=∠ADE AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；

（2）∵AE∥BC，
∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C，
又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x，
则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB，
又∵由（1）得  AD=AB，∠E=∠C，
∴∠ABD=4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°，
∴x=20°，
∴∠E=∠C=20°．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．